某些建筑被修建成了直角三角形的形状，如果再加上水中的倒影，是不是还挺别致？

直角三角形是最特殊的三角形，没有之一。

同样特殊的等腰三角形有很多性质也是通过构造直角三角形得到的。

毫不夸张地说，平面几何中有一大半的问题都是通过构造直角三角形来解决的。

那我们就一起来看看，神奇的直角三角形吧！

直角三角形的角

在三角形的分类中，我们知道有一个角是直角的三角形叫做直角三角形。

直角三角形可以简写为RT△，直角所对应的边叫斜边，两个锐角对应的边叫直角边。

在RT△ABC中，若∠C=90°，由三角形三内角和等于180°，我们不难发现∠A+∠B=90°。

由此，我们得到，

性质八:直角三角形的两个锐角互余。

反之，在△ABC中，如果∠A+∠B=90°，那么∠C=180°-(∠A+∠B)=90°。

也就是说，

判定五:有两个角互余的三角形是直角三角形。

勾股定理的证明

说完直角三角形角的关系，就要研究边的关系，这便是勾股定理。

性质九:如果直角三角形的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c，那么

a²+b²=c²

教科书上对勾股定理的证明，在正文中采用的是赵爽的方法。

赵爽通过四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个边长为c的大正方形。

然后通过面积相等，证明了勾股定理。

注:每一个红色三角形面积是1/2 ab，黄色正方形面积是(b-a)²，大正方形面积是c²。

显然有(b-a)²+2ab=a²+b²=c²

如果a=b，中间的小正方形就没有了。此时2ab=a²+b²=c²。

这个方法中体现出的思想在中国古代叫做出入相补。

除了赵爽弦图，课本上还给出了上面三种证明方法。

其中《几何原本》中的证法，如果知道手拉手模型和一半模型看起来就更简单。

但实际上，只要熟悉面积公式和全等三角形，这些内容的阅读都不会有障碍。

除此之外，勾股定理还有很多其它的证明方法，这些方法大多是利用图形面积的不同组合形式得到的！

比如:

美国第二十任总统加菲尔德的证法:

如图把两个全等直角三角形的不同直角边拼在一起。

容易证明四边形ABCD是一个直角梯形。

它的面积=1/2 (a+b)²=ab+1/2 c²

化简即有a²+b²=c²。

清代历算开山之祖梅文鼎的证法:

如图拼接，只要说明四边形BCPD、PFGH、ABEG都是正方形。

就很容易证到，c²=a²+b²。

还有一些不用面积拼接的方法，比如:

利用相似三角形证明:

如图，在C为直角的RT△ABC中，A、B、C，对应边长分别为a、b、c，过C作AB边上的高CD。

∵△ABC∽△CBD

∴c:a=a:BD 即a²=c×BD

∵△ABC∽△ACD

∴b:AD=c:b 即b²=c×AD

∴a²+b²=c×BD+c×AD=c²。

利用切割线定理证明:

如图，以B为圆心，a为半径作圆。显然AC是圆的切线，AE是圆的割线。

故有b²=(c-a)(c+a)，即a²+b²=c²。

利用托勒密定理证明:

如图，以AB中点E为圆心，c/2为半径作圆。连接CE，并延长交圆E于D。

四边形ABCD很显然是圆的内接四边形。

∴AB×CD=AC×BD+AD×BC

即c²=b²+a²。

利用内切圆证明:

如图，作RT△ABC的内切圆圆O，圆O与a交于D，与b交于E，与c交于F。

由切线长定理，a+b-c=2r

S△ABC=1/2 ab

S△ABC=S△BCO+S△ACO+S△ABO

=1/2 (a+b+c)r=1/4 (a+b+c)(a+b-c)

即(a+b)²-c²=2ab

即a²+b²=c²。

课本习题简析

13.这就是网上很有名的月牙定理。

简析:由勾股定理AC²+CD²=AD²，

又有，

S半圆ACE=0.5π(AC/2)²

S半圆DCF=0.5π(DC/2)²

S半圆ACD=0.5π(AD/2)²

∴S半圆ACD=S半圆ACE+S半圆DCF

两边同时减去弓形面积

∴S月牙AGCE+S月牙DHCF=S△ACD。

14.简析:这里实际上是一个等腰三角形手拉手模型。一眼可见结论，当然作为证明题，你肯定不能直接说，由手拉手模型得。

简证如下:连接BD。

先证△CAE≌△CBD(SAS)

(∠ACE=90°-∠ACD=∠BCD)

∴AE=BD，∠CDB=∠CEA=45°

∴∠ADB=90°

故，BD²+AD²=AB²

即AE²+AD²=2AC²。

勾股定理的逆定理

把一个命题的条件和结论对调得到一个新命题。这个新命题就叫做原命题的逆命题。

如下所示:

原命题:若A，则B。

逆命题:若B，则A。

勾股定理:如果直角三角形两条直角边长分别为a、b，斜边长为c，那么a²+b²=c²。

判定六(勾股定理逆定理):如果三角形的三边a、b、c，满足a²+b²=c²，那么这个三角形是以a、b为直角边，c为斜边的直角三角形。

课本上用证全等的方法证明了勾股定理逆定理的成立。这里不再赘述。

下面是习题简析:

7.如果a、b、c是勾股数，那么a²+b²=c²

ak、bk、ck也是正整数。

(ak)²+(bk)²=k²(a²+b²)=k²c²=(kc)²。

12.这里考察的是圆柱的侧面展开图。

如图，展开后侧面为矩形:

矩形长为12πcm，宽为10cm。而AB间线段最短。

13.长方体的对角线长等于50√2cm，大于70cm。

14.如图:

∵a²+b²=c²

∴

由面积公式得，

将这个等式，代入前面的式子